在数学和统计学中，期望值和方差是描述随机变量性质的重要指标。它们帮助我们理解数据分布的特点，并为决策提供依据。本文将详细介绍如何计算这些关键参数。

首先，我们来看期望值（Expected Value）。假设有一个离散型随机变量X，其可能取值为x₁, x₂, ..., xₙ，对应的概率分别为p₁, p₂, ..., pₙ。那么，X的期望值E(X)可以通过以下公式计算：

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \]

这个公式表明，期望值是所有可能取值与其对应概率乘积的总和。例如，如果一个骰子被投掷一次，每个面出现的概率都是1/6，那么骰子点数的期望值为：

\[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + ... + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5 \]

接下来是方差（Variance）的计算。方差衡量的是随机变量取值相对于期望值的偏离程度。对于上述离散型随机变量X，其方差Var(X)可以表示为：

\[ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i \]

换句话说，方差是每个可能取值与期望值之差的平方乘以其概率后的总和。继续以骰子为例，我们可以计算出其方差如下：

\[ Var(X) = (1-3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (2-3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} + ... + (6-3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} \approx 2.92 \]

对于连续型随机变量，期望值和方差的计算方式类似，但需要使用积分代替求和。具体来说，如果X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则：

\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \]

\[ Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) dx \]

通过这些公式，我们可以全面地分析随机变量的行为特征。无论是实际应用还是理论研究，理解和掌握期望与方差的计算方法都是非常必要的。希望本文能够为您提供清晰且实用的信息！