例题一：速度与时间的关系

小明骑自行车从家到学校，如果他的速度为每小时10公里，则需要30分钟才能到达。那么，如果他将速度提高到每小时15公里，他需要多长时间才能到达学校？

解析：此题中，路程是固定的，速度与时间成反比关系。设新的时间为t小时，则有：

\[ 10 \times 0.5 = 15 \times t \]

解得 \( t = \frac{1}{3} \) 小时，即10分钟。

例题二：工作效率问题

一项工程，甲单独完成需要6天，乙单独完成需要9天。如果两人合作，他们需要多少天才能完成这项工程？

解析：甲每天完成的工作量为 \( \frac{1}{6} \)，乙每天完成的工作量为 \( \frac{1}{9} \)。两人合作一天可以完成的工作量为：

\[ \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{5}{18} \]

因此，他们合作完成整个工程需要的时间为：

\[ \frac{1}{\frac{5}{18}} = 3.6 \] 天。

例题三：商品价格与数量的关系

某商店出售苹果，若购买10斤苹果需支付50元，则购买20斤苹果需要支付多少钱？

解析：苹果的价格与重量成正比关系。设购买20斤苹果需要支付x元，则有：

\[ \frac{50}{10} = \frac{x}{20} \]

解得 \( x = 100 \) 元。

例题四：水池注水问题

一个水池有两个进水管和一个出水管。单独打开A管，需要4小时才能注满水池；单独打开B管，需要6小时才能注满水池；单独打开C管，需要12小时才能排空水池。如果同时打开A、B两管，并关闭C管，问需要多长时间才能注满水池？

解析：A管和B管一起工作的效率为：

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \]

因此，注满水池所需时间为：

\[ \frac{1}{\frac{5}{12}} = 2.4 \] 小时。

通过以上四道题目，我们可以看到正比例与反比例在日常生活中的广泛应用。希望大家能够熟练掌握这些基本原理，并灵活运用于各种实际问题中。