【一个三阶矩阵的负一次方怎么求101,010 011】在数学中，矩阵的“负一次方”指的是该矩阵的逆矩阵。对于一个三阶矩阵，若其行列式不为零，则存在逆矩阵；否则，矩阵不可逆。本文将以矩阵 A = [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 1, 1]] 为例，详细说明如何计算其负一次方（即 A⁻¹）。
一、步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确认矩阵是否可逆：计算行列式（det(A)）。若 det(A) ≠ 0，可求逆矩阵。 |
| 2 | 计算伴随矩阵（adj(A)）：即每个元素的代数余子式组成的转置矩阵。 |
| 3 | 使用公式：A⁻¹ = (1 / det(A)) × adj(A)。 |
二、具体计算过程
1. 矩阵 A 的形式：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
2. 计算行列式（det(A)）
使用第一行展开法计算行列式：
$$
\text{det}(A) = 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{vmatrix}
- 0 \cdot
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix}
+ 1 \cdot
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{vmatrix}
$$
$$
= 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 0 + 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1 + 0 + 0 = 1
$$
所以，det(A) = 1 ≠ 0，矩阵 A 可逆。
3. 计算伴随矩阵（adj(A)）
伴随矩阵是原矩阵的代数余子式矩阵的转置。
我们逐个计算每个元素的代数余子式：
- C₁₁ = (+) det[[1, 0], [1, 1]] = 1×1 - 0×1 = 1
- C₁₂ = (-) det[[0, 0], [0, 1]] = - (0×1 - 0×0) = 0
- C₁₃ = (+) det[[0, 1], [0, 1]] = 0×1 - 1×0 = 0
- C₂₁ = (-) det[[0, 1], [1, 1]] = - (0×1 - 1×1) = -(-1) = 1
- C₂₂ = (+) det[[1, 1], [0, 1]] = 1×1 - 1×0 = 1
- C₂₃ = (-) det[[1, 0], [0, 1]] = - (1×1 - 0×0) = -1
- C₃₁ = (+) det[[0, 1], [1, 0]] = 0×0 - 1×1 = -1
- C₃₂ = (-) det[[1, 1], [0, 0]] = - (1×0 - 1×0) = 0
- C₃₃ = (+) det[[1, 0], [0, 1]] = 1×1 - 0×0 = 1
所以，代数余子式矩阵为：
$$
C =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
转置后得到伴随矩阵：
$$
\text{adj}(A) =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
$$
4. 计算逆矩阵 A⁻¹
由于 det(A) = 1，因此：
$$
A^{-1} = \frac{1}{1} \times \text{adj}(A) =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
$$
三、最终答案表格
| 原矩阵 A | 逆矩阵 A⁻¹ |
| [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 1, 1]] | [[1, 1, -1], [0, 1, 0], [0, -1, 1]] |
四、总结
通过计算行列式、代数余子式和伴随矩阵，我们可以得出三阶矩阵 A 的逆矩阵。本例中，由于行列式为 1，计算过程较为简便。掌握这些步骤有助于理解矩阵逆的原理，并应用于线性代数中的各种问题。
