在数学领域中，欧拉方程是一种重要的微分方程形式，广泛应用于物理、工程以及数学建模等多个学科之中。其标准形式通常表示为：
\[ x^2y'' + \alpha xy' + \beta y = 0 \]
其中 \( y \) 是关于 \( x \) 的函数，\( y' \) 和 \( y'' \) 分别代表一阶和二阶导数。而参数 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 则是常数。
要解决这类方程，我们可以采用一种称为“变量替换”的方法。具体步骤如下：
变量替换法
首先，我们引入一个新的变量 \( t = \ln(x) \)，这样做的目的是将自变量从 \( x \) 转换为 \( t \)，从而简化方程结构。通过这一变换，我们得到以下关系式：
- \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \)
- \( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} \frac{dy}{dt}\right) = -\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x^2} \frac{d^2y}{dt^2} \)
将其代入原方程后，可以得到一个关于 \( t \) 的线性常系数微分方程：
\[ \frac{d^2y}{dt^2} + (\alpha - 1)\frac{dy}{dt} + \beta y = 0 \]
这是一个标准形式的二阶线性常系数齐次微分方程，可以通过特征方程求解。
特征方程与通解
设特征方程为：
\[ r^2 + (\alpha - 1)r + \beta = 0 \]
根据判别式的值（即 \( (\alpha - 1)^2 - 4\beta \)），我们可以确定三种情况下的通解形式：
1. 当判别式大于零时：有两个不同的实根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，此时通解为：
\[ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \]
2. 当判别式等于零时：有一个重根 \( r_0 \)，此时通解为：
\[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{r_0 t} \]
3. 当判别式小于零时：有一对共轭复数根 \( \lambda \pm i\mu \)，此时通解为：
\[ y(t) = e^{\lambda t}(C_1 \cos(\mu t) + C_2 \sin(\mu t)) \]
最后，将 \( t = \ln(x) \) 替换回原变量 \( x \)，即可获得最终的解。
示例应用
假设我们有这样一个具体的欧拉方程：
\[ x^2y'' - 5xy' + 9y = 0 \]
按照上述步骤，我们首先令 \( t = \ln(x) \)，然后构造特征方程：
\[ r^2 - 6r + 9 = 0 \]
该方程有两个相等的实根 \( r = 3 \)，因此对应的通解为：
\[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{3t} \]
再将 \( t = \ln(x) \) 替换回去，最终解为：
\[ y(x) = x^3(C_1 + C_2 \ln(x)) \]
这就是该欧拉方程的具体解法过程。通过这种方法，我们可以有效地处理各种形式的欧拉方程问题。
