在数学领域中，等比数列是一种特殊的数列形式，其每一项与其前一项之比为一个常数，这个常数被称为公比。对于等比数列 {a, ar, ar², ..., ar^(n-1)}，其中 a 为首项，r 为公比，研究其前 n 项和是一个经典且重要的问题。

设等比数列的前 n 项和为 S_n = a + ar + ar² + ... + ar^(n-1)。为了求解这一表达式，我们采用一种巧妙的方法，通过代数运算来简化它。

首先，将 S_n 写作：

S_n = a + ar + ar² + ... + ar^(n-1)

接着，将 S_n 乘以公比 r：

r·S_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n

现在，观察这两个表达式之间的关系。如果我们将第二个式子从第一个式子中减去，会发现大部分项会相互抵消：

S_n - r·S_n = (a - ar^n)

化简后得到：

(1 - r)·S_n = a(1 - r^n)

当 r ≠ 1 时，我们可以进一步解出 S_n：

S_n = a(1 - r^n) / (1 - r)

这就是等比数列前 n 项和的通用公式。值得注意的是，当 r = 1 时，所有项都相等，此时的前 n 项和非常简单，即 S_n = na。

这个公式的推导过程展示了数学中代数技巧的应用，同时也揭示了等比数列性质的一个重要方面。通过对公式的理解和应用，我们能够更深入地分析和解决涉及等比数列的实际问题。