【求导基本公式】在微积分的学习过程中，求导是核心内容之一。掌握常见的求导基本公式，有助于快速解决各种数学问题。本文将对常用的求导公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本求导公式总结
1. 常数函数的导数
常数的导数为零。
$ \frac{d}{dx}(C) = 0 $，其中 $ C $ 为常数。
2. 幂函数的导数
对于任意实数 $ n $，有：
$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $
3. 指数函数的导数
- $ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $（$ a > 0 $, $ a \neq 1 $）
- $ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $
4. 对数函数的导数
- $ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $（$ a > 0 $, $ a \neq 1 $）
- $ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $
5. 三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $
- $ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $
- $ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x $
- $ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x $
- $ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x $
6. 反三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $
- $ \frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1 + x^2} $
7. 基本运算规则
- 加法法则：$ (f + g)' = f' + g' $
- 减法法则：$ (f - g)' = f' - g' $
- 乘法法则（莱布尼茨法则）：$ (fg)' = f'g + fg' $
- 除法法则：$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
- 链式法则：若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $
二、常见函数求导公式表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ C $ | $ 0 $ |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、结语
求导是微积分的基础工具，熟练掌握这些基本公式，不仅有助于解题效率的提升，也为进一步学习积分、微分方程等高级内容打下坚实基础。建议通过不断练习和应用，加深对公式的理解和记忆。
