在微积分的学习过程中，不定积分是一个非常重要的内容。其中，像 ∫x e²ˣ dx 这样的积分题，常常出现在各类数学考试和练习中。它不仅考察了基本的积分技巧，还涉及到了分部积分法的应用。
一、问题解析
题目是求函数 x e²ˣ 的不定积分，即：
$$
\int x e^{2x} \, dx
$$
这个积分看起来并不复杂，但直接积分却不容易，因为它是一个乘积形式的函数，包含了一个多项式项（x）和一个指数函数项（e²ˣ）。对于这种类型的积分，通常会使用分部积分法（Integration by Parts）来解决。
二、分部积分法简介
分部积分法的基本公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
在实际应用中，我们需要选择合适的 u 和 dv 来简化计算。一般来说，我们倾向于将多项式部分设为 u，而将指数部分设为 dv，因为对多项式求导会使其次数降低，而对指数函数积分则相对简单。
三、具体解法步骤
我们令：
- $ u = x $ → 则 $ du = dx $
- $ dv = e^{2x} dx $ → 则 $ v = \frac{1}{2} e^{2x} $
代入分部积分公式：
$$
\int x e^{2x} dx = x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} dx
$$
接下来计算第二个积分：
$$
\int \frac{1}{2} e^{2x} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C = \frac{1}{4} e^{2x} + C
$$
因此，原积分的结果为：
$$
\int x e^{2x} dx = \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C
$$
可以进一步整理为：
$$
\int x e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{4} (2x - 1) + C
$$
四、验证结果
为了确保答案的正确性，我们可以对结果进行求导验证：
设：
$$
F(x) = \frac{e^{2x}}{4}(2x - 1)
$$
求导得：
$$
F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) \right]
= \frac{1}{4} \left[ 2e^{2x}(2x - 1) + e^{2x} \cdot 2 \right]
= \frac{1}{4} \left[ 4x e^{2x} - 2 e^{2x} + 2 e^{2x} \right]
= \frac{1}{4} \cdot 4x e^{2x}
= x e^{2x}
$$
与原被积函数一致，说明积分结果正确。
五、总结
通过使用分部积分法，我们成功地解决了 ∫x e²ˣ dx 这个不定积分问题。整个过程体现了数学中“化繁为简”的思想，也展示了如何灵活运用不同的积分技巧来处理复杂的函数组合。
掌握这类积分方法，不仅能提升解题能力，还能加深对微积分本质的理解。希望这篇讲解能帮助你更好地理解和掌握不定积分的相关知识。
