【高中数学必修4三角函数公式大全】在高中数学必修4中，三角函数是重要的学习内容之一。它不仅涉及角度与三角形的关系，还广泛应用于解析几何、向量、微积分等多个领域。掌握好三角函数的基本公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对高中数学必修4中三角函数相关公式的系统总结。
一、基本概念
1. 三角函数定义
在直角坐标系中，设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x（x ≠ 0）
- cotα = x/y（y ≠ 0）
- secα = 1/x（x ≠ 0）
- cscα = 1/y（y ≠ 0）
2. 单位圆上的三角函数值
角度制与弧度制之间的转换关系为：
$180^\circ = \pi$ 弧度
二、常用公式汇总
| 公式类型 | 公式表达 | 说明 |
| 诱导公式 | $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$ | 负角公式 |
| 同角三角函数关系 | $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$ $1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$ | 基本恒等式 |
| 和角公式 | $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$ | 用于计算两角和的三角函数值 |
| 差角公式 | $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$ | 用于计算两角差的三角函数值 |
| 倍角公式 | $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$ $\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$ | 计算两倍角的三角函数值 |
| 半角公式 | $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$ $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$ $\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ | 用于计算半角的三角函数值 |
| 积化和差公式 | $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ $\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]$ | 将乘积转化为和差形式 |
| 和差化积公式 | $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$ | 将和差转化为乘积形式 |
三、特殊角的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinα | cosα | tanα |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | 不存在 |
四、小结
三角函数是高中数学的重要组成部分，其公式繁多但逻辑清晰。通过熟练掌握这些公式，并结合实际问题进行练习，能够有效提升数学思维能力和解题技巧。建议在学习过程中注重公式的推导过程，理解其几何意义，从而更好地应用到各类题目中。
希望本文对大家的学习有所帮助！
