【二项分布公式是什么】二项分布是概率论中一种常见的离散概率分布，用于描述在n次独立重复试验中，成功次数k的概率分布。它适用于每次试验只有两种可能结果（如“成功”或“失败”）的情况。
一、二项分布的基本概念
- 试验次数（n）：进行的独立试验次数。
- 单次成功概率（p）：每次试验成功的概率。
- 随机变量X：表示n次试验中成功的次数。
- 二项分布记作：$ X \sim B(n, p) $
二、二项分布公式
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $ 是组合数，表示从n次试验中选出k次成功的组合方式。
- $ p^k $ 表示k次成功的概率。
- $ (1 - p)^{n - k} $ 表示剩下的n−k次失败的概率。
三、二项分布的性质
| 性质 | 描述 |
| 期望值 | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1 - p) $ |
| 标准差 | $ \sqrt{np(1 - p)} $ |
| 对称性 | 当p=0.5时，分布对称；否则偏斜 |
四、二项分布的应用场景
- 投掷硬币（正面/反面）
- 产品质量检验（合格/不合格）
- 药物疗效测试（有效/无效）
- 顾客是否购买产品（购买/不购买）
五、总结与表格
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 二项分布是n次独立重复试验中成功次数的概率分布 |
| 公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 参数 | n（试验次数），p（单次成功概率） |
| 期望值 | $ np $ |
| 方差 | $ np(1 - p) $ |
| 适用条件 | 每次试验独立，结果只有两种，p不变 |
通过以上内容可以看出，二项分布是一种非常实用的概率模型，广泛应用于统计学、工程、医学等多个领域。理解其公式和性质有助于更好地分析和预测实际问题中的随机事件。
